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Azucchi

[Calcolo scientifico e metodo numerico] Esercizio errore di interpolazione

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Sera a tutti. Non so se tra gli appassionati di 3D c'è anche qualcuno appassionato di matematica :D Ci provo! Spero possiate aiutarmi :blush:

Devo risolvere il seguente esercizio:

Interpolando la funzione f(x)=e^x sull'intervallo [0, 1] mediante polinomi, determinare un numero di nodi di interpolazione sufficiente ad ottenere un errore di interpolazione minore di 1/50.

Le slides di riferimento sono le seguenti:

akj13p.png

oi6otj.png

Devo applicare l'ultima formula, ma non mi sono stati dati i valori x0, x1 ...possibile??

Questa parte proprio non mi entra in testa :wallbash:

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Interpolando la funzione f(x)=e^x sull'intervallo [0, 1] mediante polinomi, determinare un numero di nodi di interpolazione sufficiente ad ottenere un errore di interpolazione minore di 1/50.

Usa nodi equidistanti o la distribuzione dei nodi di Chebichev. Cioè ti cerchi il polinomio con grado n di interpolazione di e^x sui nodi di Chebichev

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Grazie Emilie, ma il numero di nodi per ottenere un errore minore di 1/50 come faccio a determinarlo? Nel senso, a tentativi?


Modificato da Azucchi

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Per n=5 l'errore è minore di 1/50

E(x)=((b-a)^(n+1))/((n+1)!)*e^b

risolvi...

Se non sto svarionando...

Perfetto Emilie, grazie! Ora mi e' tutto piu' chiaro :)

L'unico dubbio resta se esiste qualche formula per trovare il numero di nodi n sufficiente a ottenere un errore di interpolazione minore di un fissato numero senza procedere per tentativi (n=1, n=2, n=3, ...).

Forse non esiste e ci sto solo perdendo tempo :wallbash:


Modificato da Azucchi

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I fattori che influiscono sull'errore sono:

- la regolarità della funzione f(x);

- il numero di punti in cui si interpola e quindi il grado del polinomio di interpolazione;

- la funzione pn(x) che dipende solo dai punti xi.

Strategie per minimizzare l'errore:

- aumentare il numero di punti (attenzione che non sempre aumentando il grado del polinomio diminuiamo l'errore);

- cercare nodi che minimizzino E(x);

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Giusto per curiosità, Azu, che facoltà hai scelto?

Visto l'argomento immagino si tratti di ingegneria ^_^

PS

Io Chebichev lo utilizzavo in probabilistica per trovare la probabilità che una variabile assumesse un valore compreso tra E[x]-Δσ e E[x]+Δσ, ma mi sembra di capire che sia tratti di applicazione diversa..

Però non ricordo molto di queste cose :blush:

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Beh tornando alla domanda iniziale, puoi usare l'interpolazione polinomiale, e la stima che hai dipende solo dal numero dei nodi che hai e non dai nodi stessi. Se usi chebischev guadagni anche la convergenza uniforme dell'interpolazione su [a,b] alla funzione, ma non mi pareva questa la domanda.

Fonte: sono un matematico


Modificato da Andrea Merlo

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